Las matemáticas para cortar pasteles ofrecen lecciones que van mucho más allá de los platos de postre
Ariel Procaccia ha pensado mucho en cómo cortar pasteles durante los últimos 15 años. Eso se debe en parte a que tiene tres hijos. Como grupo, han celebrado más de dos docenas de cumpleaños. Por eso Procaccia sabe lo que es estar con un cuchillo ante un postre tentador. Dulces capas de pastel. Glaseado de crema de mantequilla y rizos de chocolate. Y una multitud de pequeños y entusiastas asistentes a la fiesta que detectarán instantáneamente si alguien más obtiene una porción mejor.
Pero Procaccia también es informático en la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts. Allí estudia las reglas matemáticas para dividir cosas. Y el postre es una forma útil de pensar en eso. Todo se reduce a una pregunta engañosamente simple sobre la justicia: ¿Cómo se puede cortar un pastel para asegurar que todos en la fiesta estén contentos con lo que obtienen?
Las respuestas van mucho más allá de las fiestas de cumpleaños. Durante más de 75 años, los matemáticos se han preguntado cómo dividir los recursos de manera equitativa. Estas preguntas tienen usos en el mundo real. ¿Cómo se pueden repartir los alimentos entre las comunidades hambrientas, por ejemplo? ¿Cómo deberían los compañeros de cuarto dividir el alquiler o las tareas del hogar? ¿Cómo pueden las comunidades trazar límites para distritos electorales justos?
Estas preguntas también incluyen más que matemáticas. Deben considerar qué prefiere la gente y otras cuestiones. De modo que resultan interesantes para científicos, economistas y expertos jurídicos.
Pero el pastel funciona como sustituto de cualquier cosa que se pueda dividir, dice Steven Brams. Es teórico de juegos y politólogo de la Universidad de Nueva York (NYU) en la ciudad de Nueva York. Las ideas para cortar pasteles se pueden aplicar fácilmente para dividir tierras, tiempo u otros recursos limitados.
Recetas para cortar pasteles justos
Los expertos han ideado muchas reglas, llamadas algoritmos, sobre cómo cortar un pastel de manera justa. (Casi todos se centran en pasteles rectangulares. El problema relacionado, pero más reciente, de “cortar pasteles” aborda postres circulares o pizzas). Las reglas más simples muestran cómo dos personas pueden compartir un pastel de manera equitativa: una persona corta el pastel en dos pedazos que cree ser igual en valor. La otra persona elige entre ellos. Cada comensal recibe una pieza que considera al menos tan valiosa como la del otro, si no mejor.
Los informes sobre esta estrategia se remontan a la antigua Grecia.
En la década de 1940, los matemáticos empezaron a utilizar el corte de pasteles como forma de estudiar la equidad. El método “yo corto, tú eliges” funciona para dos personas. ¿Qué tal compartir entre tres o más? Esto ha llevado a nuevos desafíos, tales como: ¿Qué es exactamente la justicia y cómo se demuestra?
He aquí una manera de pensar en la justicia. Quizás cada persona esté satisfecha si siente que su porción representa una parte justa del total. Para dos personas, una porción justa sería 1/2; para tres, sería 1/3, y así sucesivamente. (Y para un número n arbitrario de consumidores de pasteles, una proporción justa sería 1/n.) Si el pastel es igual en todas partes, todas las rebanadas solo deben tener el mismo tamaño. Esto no es demasiado difícil de lograr con un cuchillo y una regla o una báscula de cocina.
¿Pero qué pasa cuando el pastel no es todo igual? Tal vez esté cubierto con algunas rosas glaseadas o galletas ingeniosamente colocadas. Las esquinas pueden tener más glaseado. Un amante de las cerezas marrasquino podría estar contento con la porción más pequeña si consigue la única cereza del pastel. Para ellos, esa pieza es más valiosa que una porción más grande.
Para dos personas, Yo-corto-tú-elijo todavía funciona con un pastel no uniforme. El divisor corta el pastel en dos pedazos que consideran iguales; Luego, el seleccionador elige su pieza preferida. Pero si se añaden más consumidores de pasteles, cada uno con sus propias preferencias, las soluciones fáciles se desmoronan.
Más comedores, más recortes
Hugo Steinhaus fue uno de los primeros matemáticos en sumergirse en esta complejidad. Trabajó en la Universidad de Varsovia en Polonia en los años 1940. Durante la Segunda Guerra Mundial, vio que las cuestiones sobre la división justa de la tierra se desarrollaban a gran escala y de forma violenta. A Steinhaus se le ocurrió una estrategia modificada de «yo corto, tú eliges» para tres jugadores.
Llegó a denominarse método del divisor único.
Aquí alguien corta el pastel. Llamémosla Alice. Corta tres piezas que valora por igual (cada una a 1/3 del total). Luego, una segunda persona, Bob, dice cuál de las piezas aceptaría. Si aprueba al menos dos piezas, la tercera persona, Carla, puede tomar cualquier pieza que quiera. Al menos una de las piezas restantes es aceptable para Bob. Entonces él elige el siguiente. Alice obtiene lo que queda.
Si Bob y Carla rechazan la misma pieza, esa pieza se la lleva Alice. Ella valoraba todas las piezas por igual, por lo que todavía le parece justo. Las dos piezas restantes se recombinan y comparten entre Bob y Carla usando I-cut-you-choose.
Steinhaus describió este método en un breve artículo publicado en 1948. Fue uno de los primeros estudios serios en el campo del corte de pasteles. Y funcionó para tres comensales.
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Sin embargo, en el mismo artículo, analizó un algoritmo desarrollado por dos de sus colegas. Este método del “último reductor” podría funcionar para cualquier número de consumidores de pasteles.
Aquí, alguien corta un trozo de pastel que cree que es justo y se lo pasa a la siguiente persona. Cada persona en la fiesta tiene una opción. Pueden pasar la pieza, si están de acuerdo en que es justa o menos que una parte justa. O, si creen que es demasiado grande, pueden recortarlo. Una vez que todos han tenido la oportunidad de recortar o «disminuir» la porción, la última persona que recortó recibe la pieza y sale del juego.
Cualquier trozo recortado se vuelve a agregar al pastel restante y el proceso comienza nuevamente con los jugadores restantes. Cuando solo quedan dos jugadores, usan Yo corto, tú eliges.
El método de la última disminución garantiza que todos consideren que su propia pieza es al menos una parte justa. Pero no es perfecto. Eso es porque no tiene en cuenta la envidia. Tanto en el enfoque del divisor único como del del último reductor, una persona que obtiene una porción temprana puede ver una porción posterior que desearía tener, a pesar de que al principio pensó que su porción era justa.
El último reductor también tiene otro defecto. Si mucha gente lo recorta, es posible que el pastel se reduzca a migajas en rondas posteriores. Y eso puede parecer injusto sin importar cuán grande sea tu montón.
¿Puede el corte de tarta estar libre de envidia?
Después del único reductor, los matemáticos continuaron buscando formas de dividir algo sin envidia. En la década de 1960, a John Conway y John Selfridge se les ocurrió la misma idea de cómo tres personas pueden sentir que recibieron una parte justa, sin envidia de los demás.
En su plan, Alice primero divide el pastel en tres pedazos. Ella cree que cada uno tiene el mismo valor. Luego, Bob puede recortar una pieza (como máximo) para crear un vínculo bidireccional para lo más valioso. (Todos los adornos se dejan a un lado). Carla debe elegir entre los tres. Entonces el orden se invierte. Si Carla no eligió la pieza recortada, Bob la toma. Alice se queda con el que queda. Luego los comensales recurren a las guarniciones. Siguen un proceso similar de corte, recorte y elección.
En 1995, otro equipo demostró cómo extender este enfoque a cualquier número de personas. Brams de la Universidad de Nueva York trabajó con Alan D. Taylor del Union College en Schenectady, Nueva York. Su método aplicó la idea de «recortar» utilizando todos los pares posibles de comensales de pastel. «Eso se consideró una especie de gran avance», dice Brams.
Sin embargo, el enfoque todavía tenía sus límites. No había garantía de cuántos recortes serían necesarios. “Demostramos en general que se podrían requerir tres recortes o tres millones de recortes”, dice Brams. O incluso más.
El problema del corte de pasteles perdura
Los algoritmos analizados hasta ahora suponen que todos los consumidores juegan limpio. Es decir, todos intentan lograr piezas que todos los demás sientan como una parte justa. Pero la gente no siempre es honesta.
Esto es algo que Biaoshuai Tao reconoce. Tao es informático en la Universidad Jiao Tong de Shanghai en China. Y estudió lo que sucede cuando se intenta dar cuenta de los consumidores de pasteles deshonestos. «Si todo el mundo sabe cómo se reparte el pastel, entonces debería recibir más si digo la verdad», afirma.
Pero en algunos casos, la deshonestidad puede dar una ventaja. Digamos que Alice y Bob van a dividir un pastel. Si Alice supiera que Bob siempre prefirió el chocolate, podría cortar el pastel de manera desigual a propósito para que el trozo más pequeño contuviera más chocolate. Entonces, si Bob elegía según sus preferencias, Alice obtendría la porción más grande.
En un artículo de 2010, Procaccia planteó una pregunta curiosa: ¿Puede haber una manera de cortar el pastel que garantice la honestidad? y ¿justicia? Más de 10 años después, la respuesta parece ser: no.
Tao usó las matemáticas para demostrar que es imposible cortar el pastel de una manera que prometa veracidad y justicia, sin envidia. Presentó esto en una reunión de julio de 2022 en Boulder, Colorado. Fue celebrada por la Conferencia de Economía y Computación de la Association for Computing Machinery.
Más allá del pastel
Es fácil identificarse con el corte de pasteles, dice Bettina Klaus. Y tiene muchos usos prácticos. En la Universidad de Lausana (Suiza), Klaus estudia la equidad en situaciones del mundo real. Dividir las cosas de manera equitativa “es matemáticamente interesante y desafiante”, afirma. Y su complejidad crece con la cantidad de personas que quieren compartir.
Un ejemplo que estudia es la elección de escuela. En este caso, un distrito escolar tiene plazas limitadas en determinadas escuelas. “En el pasado, a las escuelas sólo se les asignaba [to students] … sin preguntar a la gente qué quieren”, dice Klaus. Más recientemente, señala, las escuelas han tratado de ubicar a los estudiantes donde quieren ir (o donde sus padres quieren que vayan). También deben seguir las reglas establecidas por la junta escolar. Decidir cómo asignar justamente esos escaños significa equilibrar las prioridades de estos grupos.
Otras aplicaciones del mundo real aparecen casi dondequiera que mires.
Brams ha utilizado ideas del corte de pasteles para estudiar procedimientos de votación justos. (Para elegir a sus líderes, al menos cuatro sociedades científicas adoptaron un algoritmo que él desarrolló. La Asociación Matemática de América es una de ellas).
En 2014, Procaccia formó parte de un equipo que diseñó una herramienta web llamada Spliddit. Según las preferencias de los usuarios, produjo formas matemáticamente justas de dividir cualquier cosa. Podría ser el alquiler entre compañeros de cuarto o incluso posesiones entre divorciados.
Incluso después de décadas de estudio, el corte de pasteles desafía una solución simple. De hecho, cuanto más lo exploran los investigadores, más parece haber por explorar.
«Ahora me interesa no sólo porque es hermoso en matemáticas», dice Tao, sino también porque «todavía creo que hay mucho por hacer».
